1、引言

随着永磁磁性材料、半导体功率器件和控制理论的发展，永磁同步电动机（PMSM）在当前的中、小功率运动控制中起着越来越重要的作用。它具有如下的优点：结构紧凑、高功率密度、高气隙磁通和高转矩惯性比等。因此，在伺服系统中越来越被广泛应用。另外，永磁同步电动机是一个非线性系统，它含有角速度 与电流 或 的乘积项，因此要得到精确控制性能必须对角速度和电流进行解耦。

近十几年来，基于反馈线性化思想的非线性控制理论获得很大进展[1>，通过坐标变换与状态反馈，可以把非线性系统化为线性系统。文献[2,3>采用逆系统理论研究了这一问题，但目前还仅限于电流源型逆变器供电的电机；文献[4,5>应用微分几何理论对感应电机的控制问题作了初步研究，所用理论比较复杂，物理概念不够清楚；文献[6>采用直接反馈线性化理论对感应电机控制进行了初步的研究。文献[7>应用反馈线性化理论对直线永磁同步电机进行了速度跟踪控制。直接反馈线性化（DFL）是基于系统输入-输出描述的一种反馈线性化方法，已成功解决了多种非线性控制问题[8～9>。直接反馈线性化的优点是所用数学工具简单，物理概念清晰，便于掌握。

本文应用直接反馈线性化原理，从系统的输出方程出发，进行了坐标变换和状态反馈，使永磁同步电机的电流和角速度解耦，从而实现了电机控制系统的线性化，利用线性控制理论对永磁同步电机速度跟踪控制进行了仿真。结果表明：直接反馈线性化控制能够实现速度跟踪控制，同时系统在突加负载和卸除负载时降低了对速度的影响。

2、直接反馈线性化原理

本节先以单输入单输出（SISO）系统为例简单介绍直接反馈线性化的原理，从系统的输出方程出发得到所需的坐标变换与状态反馈律，实现了系统的线性化。多输入多输出系统则在下一节结合永磁同步电动机来介绍。
现有如下的n阶非线性系统：

其中f（x）,g（x）是矢量函数，系统（1）的相对阶（relative degree）是p，它反映了系统输出与输入之间积分器的数目。由相对阶的李微分定义：

现对输出量y求导：

下面分两种情况讨论实现直接反馈线性化的具体方法。

（1）p=n

此时可以选择如下的坐标变换T（x）：

则原非线性系统转换为：

对于其中的最后一式，再引入一假定输入量v，令：

这样，系统（8）就可以转换成线性系统，也就是说可以按线性系统理论来设计其输入v（t），然后再由式（9）解得原非线性系统的反馈线性化控制为：

（2）p

此时仍然可以按照式（7）选择坐标变换，得到r个新的状态量。对于其它n-r个状态，坐标变换的选择原则是要使新的状态方程中不出现输入量，即通过如下坐标变换：

这样，非线性系统变为：

上式的第二部分，形式上与式（8）类似，可按与相面相同的方法通过对输入引入状态反馈，然后按线性系统理论设计假定控制量 即可；但对于式（12）的第一部分出现了零动态系统，只有保证零动态方程的稳定性，反馈线性化方法才有效的。

3、永磁同步电动机的反馈线性化

3.1 数学模型

采用表面式的永磁同步电动机，其基于同步旋转转子坐标的d-q模型^[10>如下：

其中，u_d,u_q是d，q轴定子电压； 是d，q轴定子电流；R是定子电阻；L是定子电感；T_L是负载转矩；J是转动惯量；B是粘滞磨擦系统；P是极对数；ω是转子机械角速度；Φ_f是永磁磁通。

式（13）、（14）、（15）可以简化写成：

3.2 坐标变换

为了实现系统的解耦，避免出现零动态系统问题^[11>，选择ω，i_d为系统的输出，定义新的输出变量为：

对式（17）进行求导：

由于系统是三输入三输出系统，且它的相对阶是｛1,1,1｝，即它的之和等于系统的阶数，所以系统可反馈线性化，且不出现零动态问题。令假定控制量为：

则线性化系统为：

这样，可以按照线性系统极点配置理论来设计状态反馈控制为：

把式（13）、（14）、（15）代入（19）、（20），得到了实际控制量u_q,u_d

4、系统实例仿真

永磁同步电机系统的直接反馈线性化控制框图，如图1所示。通过调整参数 使系统达到满意的配置点。永磁同步电机参数如表1所示。

直接反馈线性化控制参数为：

（1） 假定速度的参考速度为500r/s，DFL控制的仿真结果如图2（a）所示，一般PID控制的仿真如图3（a）所示。由仿真结果表明，系统的DFL控制比一般PID控制更具有很好速度跟踪能力。

（2） 假定速度的参考速度为500r/s，在0.4秒加速50r/s，在0.8秒减速50r/s。仿真结果分别如图2（b）,图3（b）。它表明DFL控制使系统具有良好的动态性能。

（3） 假定速度的参考速度为100r/s，在0.25秒突加负载10Nm，在0.5秒卸除负载。仿真结果分别如图2（c）,图3（c）。它表明DFL控制系统在突加负载和卸除负载时降低了对速度的影响。

从上面仿真可以看出：与一般PID 控制相比，系统DFL控制在减少调节参数的情况下加快了系统的跟踪速度，同时具有很强的鲁棒性。

5、结论

本文把直接反馈线性化控制应用于永磁同步电动机的速度跟踪中，该设计方法与一般PID 控制方法相比，减少了调节参数，简化了系统的控制设计。通过Matlab仿真和一般PID 控制对比，表明系统有很好的跟踪性能，验证了系统设计的有效性和可行性。