1 引言
自Pecora和Carroll提出了混沌系统之间的同步方法[1]以来,混沌控制与同步问题便成为了非线性科学领域中备受关注的持续热点之一,陆续出现了丰富的同步类型和同步控制方法[2-5],在保密通信、信息科学、物理学以及生物工程等领域显示了巨大的应用潜力。其中,混沌投影同步类型因其具有比例因子不可预知性的特点,在保密通信中的应用尤其具有广阔的前景。最初的投影混沌同步(PS)概念是由R.Mainieri和J.Rehacek在1999年提出的[6],近些年来,投影同步类型的研究发展很快,相继出现了修正投影同步(MPS)[7]、函数投影同步(FPS)[8,9]、修正函数投影同步(MFPS)[10,11]以及延迟投影同步(LPS)[12,13]等。在实现混沌同步的方法上也是各具特点,蔡娜等人采用了直接构造法为不同参数的统一混沌系统设计控制器[14],Park J H和Chen H H等人则是在统一混沌系统之间的线性耦合同步控制的解决方案中分别引入了线性矩阵不等式方法[15]和最小值平衡耦合系数的方法[16]。可以预见,很多混沌控制的方法在混沌系统间的投影同步控制中可以获得较为灵活的应用。
本文通过分析一类混沌系统的特点,在对动力学方程中的线性函数和非线性函数进行了适当分离之后,通过在响应系统中结合非线性反馈控制和可调节的线性反馈增益控制,从而实现了一类混沌系统之间的投影同步控制,并获得了反馈增益矩阵元素与驱动系统吸引子尺度、响应系统的系统参数以及投影尺度因子之间的关联性,该方法可以推广到这类混沌系统的修正投影同步的控制中。最后,以Chen系统和Lorenz系统为例进行了模拟仿真,验证了方法的有效性。
2 控制原理
如下为驱动系统和响应系统的动力学方程:
其中
分别为两系统的状态变量向量;对于异结构的两个混沌系统,
均为连续的非线性函数向量,
则为待设计的控制器。
将两系统状态向量间的投影误差定义为
其中
为投影尺度因子,则由(1)和(2)得到误差动力学系统:
其中,
为含有状态变量线性函数的矩阵,
为仅依赖于驱动系统状态变量的非线性函数矩阵。对于响应系统来说,若
中不存在状态变量二次方以上的非线性项,如Lorenz系统族,则均可以整理为(3)式的形式。(3)式中控制器
的设计,应使其在消除非线性函数矩阵
的基础上,增加一个反馈增益矩阵,以便在线性化后的误差动力学方程中,通过调节反馈增益矩阵元素,使施加控制后的误差动力学系统获得渐进稳定的系统特性。即选取如下形式的控制器:
则施加控制后,误差动力学方程(3)变为
其中
为常系数矩阵,
为引入的反馈增益矩阵。为方便起见,这里取
且假定
均为正常数。对于(5)式的误差动力学系统,只有当矩阵
的所有特征值的实部均为负数时,才能在其零点处获得渐进稳定的结果。为此,为此,选取如下形式的Lyapunov函数: