摘 要：根据高速立铣刀容屑槽的几何特点，建立铣刀径向截面槽形曲线的通用数学模型。在此基础上，应用动平衡的基本理论，推导出不等齿距三刃高速立铣刀质量偏心和不平衡量的数学模型。利用动平衡测量仪测得不等齿距三刃高速立铣刀的不平衡量，并将其与理论计算值进行对比，对比结果证明质量偏心和不平衡量数学模型完全可靠。
前言
高速切削是切削加工的发展方向，是制造技术中最重要的关键技术之一。高速切削技术将大幅提高生产率和加工质量，降低生产成本。高速切削时，由于主轴高速旋转，如果刀具中存在不平衡量，它所产生的离心力将对主轴轴承、机床部件等施加周期性载荷，从而引起振动，这将对主轴轴承、刀具寿命和加工质量造成不利影响。不等齿距立铣刀是一种新型高性能切削刀具，它能有效地抑制颤振，提高被加工表面质量。然而，不等齿距立铣刀的结构特点决定了铣刀质量存在偏心，这将导致铣刀无法满足高速加工的要求。
近年来，国内学者在不等齿铣刀及刀具动平衡方面进行了许多有意义的研究。李辉等研究了不等齿距端铣刀的减振机理和齿间角设计优化问题；付国华等给出了不等齿距面铣刀齿距分布的典型范例；姜彬在其博士论文中建立了不等齿距面铣刀动态切削力的频谱模型；王树林等建立了高速加工刀具动平衡失稳问题的数学—力学模型；谢黎明等提出了抑制高速旋转刀具不平衡量的方法。在转子动平衡测量、自动动平衡技术及去重校正技术等方面，学者也进行了大量的研究。然而有关高速旋转刀具不平衡量计算及不平衡量与刀具结构之间关系的研究还不多见。因此，研究不等齿距高速立铣刀的动平衡对于铣刀结构优化设计和应用具有重要意义。
1 动平衡的基本理论
在机械理论中，任何绕回转轴作旋转运动的物体称为转子。转子不平衡是指转子的惯性主轴与回转轴不一致；转子的不平衡振动，是由于其质量分布不均衡，使转子上受到的所有离心惯性力的合力及所有惯性力偶矩之和不等于零引起的。修正转子的质量分布，保证转子旋转时的惯性主轴和回转轴相一致，消除由于质量偏心而产生的离心惯性力和惯性力偶矩，使转子的惯性力系达到平衡的过程即为转子动平衡。转子不平衡量和平衡品质分别为
式中 U ——转子的不平衡量
m ——转子的质量
e ——转子的质量偏心
G ——转子的动平衡品质
n ——转子的转速
2 铣刀质量偏心和不平衡量
2.1 铣刀径向截面槽形曲线的数学模型
不等齿距三刃高速立铣刀径向截面图及相关设计参数如图1所示，刃径d=2R ，齿距差角为θ(θ≤10°)。铣刀容屑槽①、②、③采用相同的砂轮，相同的磨削参数加工，槽形曲线由一段直线ls和三段圆弧l1、l2 和l3组成，所有曲线段光滑连接。
容屑槽①的设计参数如下：ls 与x 轴正向夹角为铣刀槽前角α ；l1半径为R1，圆心和原点连线与x轴正向夹角为λ ；l2半径为R2，保证该处芯厚为Wt ；l3半径为R3，并满足槽张角γ 从而保证周刃后刀面的宽度。
图1 不等齿距三刃立铣刀径向截面图
显然，铣刀径向截面槽形曲线的数学模型可以表示为
式中 pi ——原点到li段圆心的距离与铣刀半径的比值
λi——原点到li段圆心的有向线段与x轴所成的角度
Ri——li段圆弧的半径
pi和λi均可表示成槽形设计参数的函数。
2.2 容屑槽径向截面面积和形心坐标
图2 容屑槽径向截面面积和形心坐标计算示意图
取铣刀容屑槽①进行分析，其坐标系如图2 所示，设在该坐标系中容屑槽内外轮廓的方程分别为y = f1(x) 和y = f2(x)，前者即式(3)，后者即外径圆的方程x2+ y2 = R2。在容屑槽上取平行于y轴，宽度为dx 的微元，则微元的形心位置C0 的坐标为(x, f2 (x) / 2 + f1(x) / 2)，容屑槽径向截面面积S 和形心坐标(x1, y1)计算如下
2.3 铣刀径向截形的形心坐标
设在图1 所示坐标系中容屑槽②、③的形心坐标分别为(x2 , y2 ) 、(x3 , y3) ，则铣刀径向截形的形心坐标
由于容屑槽②、③与容屑槽①的形状完全相同，根据坐标变换原理，可求得两者的形心坐标，将其代入式(7)并化简得
设铣刀径向截形的形心向径为r0，则有
2.4 铣刀质量偏心和不平衡量
计算铣刀重心坐标和质量偏心之前先作如下假设：① 铣刀材质均匀分布，内部无金相缺陷(夹砂、裂纹、气孔等)；② 铣刀的尺寸精度高；③ 容屑槽尾部抬刀处引起的质量偏心忽略不计。
设不等齿距三刃高速立铣刀刃长为H ，总长为l ，螺旋角为β ，材质密度为ρ 。为计算方便，新建坐标系Ocxcyczc如图3 所示，图3 中z轴与铣刀轴线方向重合， x 轴通过z 轴与径向截面的交点指向该径向截面的形心，在铣刀有效刃长部分任意位置取宽度为dl 的微元，微元质心的相位角为α。由于容屑槽为空间螺旋面，微元及其质心的位置变化可等效成质量dm= ρ (πR2−S)dl 的质点沿半径为r0的圆作螺旋运动，螺旋线始末两点相位角度差φ=HR−1tanβ ，据此可求得有效刃长部分质心的xH、yH坐标为
铣刀质心的xt、yt坐标和质量偏心分别为
结合式(1)推导出铣刀的不平衡量为
根据铣刀的容屑槽设计参数可计算出其径向截形面积S 和形心坐标x1、y1，将结果代入式(13)中进一步求出铣刀的不平衡量。
3 不等齿距三刃立铣刀动平衡测试
为了验证不平衡量数学模型的正确性，磨制了5支直径10mm，刃长16mm，总长92 mm的不等齿距三刃高速立铣刀，铣刀材质为KU44F，密度ρ =14.15 g·mm–3，齿距差角θ =3°，螺旋角β =30°。铣刀实际槽形设计参数：α =16°， R1= 0.4R ，λ =24°， R2 = 0.2R ， Wt=1.2R ， R3= 0.86R ，γ=110°。
根据槽形设计参数可求出： S=0.409R2，x1= 0.579R， y1= 0.5R，则有
再将密度、半径、刃长、螺旋角和齿距差角的值代入式(14)求得U=0.4 g·mm。经BMT200 动平衡测量仪检测，5 支铣刀的不平衡量分别为0.30 g·mm、0.34 g·mm、0.36 g·mm、0.4 g·mm和0.5 g·mm，平均值为0.38 g·mm。由于测量结果本身存在一定误差，且理论计算时忽略了槽尾抬刀处引起的不平衡量，故由5%的误差可推断铣刀不平衡量的数学模型是可靠的。
4 质量偏心影响因素分析
从式(12)来看，影响质量偏心的因素主要包括铣刀容屑槽设计参数、总长、刃长、螺旋角以及齿距差角。以d=10 mm、l=92 mm，以采用前文所述槽形设计参数的三刃不等齿距立铣刀为例，其质量偏心e 与螺旋角β 、刃长H 及齿距差角θ 之间的关系如下
根据式(15)，在β 和H 相同的条件下，θ 值越大，质量偏心e 越大，即在相同的转速下，刀具转动越不平稳。因此，要重点研究β 和H 对质量偏心的影响。一般在铣刀的设计中，螺旋角β 取值为30 °、35 °、40 °、45 °、50 °、55 °，刃长取值为d～2d，图4 是θ = 3 °时，铣刀质量偏心与刃长和螺旋角之间的关系曲线。
图4 质量偏心与刃长和螺旋角之间的关系
由图4 可看出：β = 30 °、35°或40°时，刃长越小，质量偏心越小；β = 55 °时，刃长越大，质量偏心越小；β = 45 °或50°时，质量偏心在刃长取1.5d附近值时出现最大值。刃长相同时，螺旋角越大，质量偏心越小。
图5 不等齿距铣刀优化设计流程图
5 铣刀优化设计流程
从理论上讲，在高速切削条件下，铣刀不等齿结构对振动的影响具有两面性：一方面这种结构具有抑制振动的作用；另一方面不等齿结构引起的质量偏心有增大振动的趋势，对切削过程产生不利影响。因此，要严格控制高速刀具的不平衡量。通常，高速铣刀要满足一定的平衡品质等级Gmax，即刀具的质量偏心应满足 e≤emax 。为了使不等齿距铣刀能够满足动平衡的要求，按照图5 所示流程对铣刀参数进行优化设计。
按照上述流程可成功设计制造出整体硬质合金不等齿距三刃高速立铣刀，其不平衡量满足高速切削条件下的使用要求。
6 薄壁侧铣试验及结果分析
在高速铣削领域，工件多为薄壁件，因此，本次试验采用干切削侧铣(顺铣)薄壁的方式进行，测量铣削过程中产生的切削力和振动。加工设备为五轴加工中心 Mikron UCP1000；测量设备为Kistler9272 三向测力仪和Kistler 5134B 振动测量仪；工件材料是LC4；试验刀具除了不平衡量和结构有所不同外，其他设计参数完全一样，其编号见表1。试验分成两组，A 组薄壁宽度为3 mm、4 mm、5 mm、6 mm、7 mm、8 mm；B 组薄壁宽度为2.0 mm、2.2 mm、2.4 mm、2.6 mm、2.8 mm，具体切削参数见表2。
试验结果见图6、7，图中切削力为三向切削力的合力，振动为垂直于被加工表面的单向振动(该方向振幅最大)，用振动加速度大小来衡量。
从图6a、7a 可以看出：当刀具不平衡量相同时，不等齿结构对切削力的影响不大；而对于同样结构的刀具，不平衡量的增大会导致切削力明显增大。从图6b、7b 可以看出：不等齿结构具有抑制振动的作用，且随着不平衡量的减小而显著增大，特别是当工件壁厚很小(b=2.0 mm、2.2 mm)时，采用等齿距铣刀加工会引起很大振动，而不等齿结构会彻底改变这种不良状况。
图6 试验A 结果对比
图7 试验B 结果对比
7 结论
(1) 对于不等齿距铣刀，不平衡量的影响因素包括容屑槽设计参数、总长、刃长、螺旋角以及齿距差角，其中刃长和螺旋角对刀具质量偏心的影响最明显。
(2) 不等齿结构能够抑制振动，但对切削力影响较小。
(3) 刀具不平衡量的增大会引起切削力和振动的明显增大，对于高速切削刀具，必须严格控制其不平衡量。
(4) 在高速铣削薄壁件时，采用不等齿距铣刀进行加工具有显著的优势。